SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH
ĐỀ THI MINH HỌA
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
MÔN THI: TOÁN - CHUYÊN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Cho
,
,
x y z
là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện
12
xy
yz
zx
+
+
=
. Chứng minh rằng
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12
12
12
12
12
12
24
12
12
12
y
z
x
z
x
y
x
y
z
x
y
z
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
.
b) Gọi
S
là tập hợp các số tự nhiên có
3
chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập hợp
S
. Tính xác
suất để lấy được một số chia hết cho
7
.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình
2
2
2
2
3
4
3
2
0
1
3
2
0.
y
x
y
x
xy
y
x
x
y
+
+
−
−
+
=
−
+ +
−
+
−
=
b) Giải phương trình
3
2
1
3
1
0.
x
x
x
+ +
−
− =
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Cho
,
x y
là hai số tự nhiên thoả mãn
0
x
y
. Chứng minh rằng nếu
3
3
x
y
−
chia hết cho 3 thì
3
3
x
y
−
chia hết cho 9.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương
x
và
y
sao cho
2
3
x
y
+
là số chính phương.
Câu 4 (3,5 điểm).
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn
(
)
O
với
AB
AC
. Gọi M là trung điểm của BC, AM
cắt
(
)
O
tại điểm D khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt đường thẳng AC tại E khác C. Đường
tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đường thẳng AB tại F khác B.
a) Chứng minh ba điểm E, M, F thẳng hàng;
b) Chứng minh rằng
OA
EF
⊥
;
c) Phân giác của góc BAC cắt EF tại điểm N. Phân giác của góc CEN và góc BFN lần lượt cắt CN,
BN tại P, Q. Chứng minh rằng
//
PQ BC
.
Câu 5 (0,5 điểm).
Một hộp bi có 100 viên. Hai bạn Hòa và Bình cùng chơi trò lấy bi ra khỏi hộp có luật chơi như sau:
Mỗi lần, người chơi chỉ được lấy 1, 2 hoặc 3 viên ra khỏi hộp, ai là người lấy được những viên bi cuối cùng
trong hộp sẽ là người chiến thắng. Giả sử Hòa là người thực hiện trước, theo em Bình sẽ thực hiện cách lấy
bi như thế nào để chắc chắn giành chiến thắng?
............................. Hết ...........................
Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH
ĐỀ THI MINH HỌA
HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
MÔN THI: TOÁN - CHUYÊN
(Hướng dẫn chấm có 03 trang)
Câu
Sơ lược lời giải
Điểm
Câu 1
(2,0)
a) Ta có :
12
xy
yz
zx
+
+
=
(
)
(
)
(
) (
)
2
2
2
2
12
12
12
x
x
xy
yz
zx
x
x x
y
z
x
y
x
x
y
x
z
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
Tương tự ta có :
(
) (
)
2
12
y
y
z
y
z
+
=
+
+
;
(
) (
)
2
12
z
z
x
z
y
+
=
+
+
0,5
Khi đó :
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12
12
12
12
12
12
24
12
12
12
y
z
x
z
x
y
x
y
z
x
y
z
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2.12
24
x
y
z
y
z
x
z
x
y
x
y
z
y
z
x
z
x
y
xy
yz
zx
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
=
=
0,5
b) Ta có
100; 101; 102; . . . ; 999
S
=
Suy ra không gian mẫu
(
)
900
S
n
=
=
0,25
Gọi
A
là biến cố “ lấy được số chia hết cho 7”
105; 112; . .
. ; 994
A
=
(
)
994
105
1
7
n A
−
=
+
128
=
.
0,5
Vậy xác suất xảy ra biến cố
A
là
(
)
(
)
128
32
(
)
900
225
n A
P A
n
=
=
=
0,25
Câu 2
(2,0)
a)
2
2
2
2
3
4
3
2
0 (1)
1
3
2
0 (2)
y
x
y
x
xy
y
x
x
y
+
+
−
−
+
=
−
+ +
−
+
−
=
Điều kiện:
2
1
0
3
0
y
x
x
y
−
+
−
+
(
)
(
)
2
2
1
3
1
2
4
2
0
y
x
y
x
x
−
−
+
−
+
=
0,25
Tính được:
(
)
2
1
x
=
−
(
)
1
1
2
2
y
x
y
x
=
−
=
−
0,25
+) Với
1
y
x
=
−
thay vào (2) ta được:
2
4
2 (3)
x
x
−
+
=
(
)
0
1
3
1
0
x
y
x
y
=
= −
=
=
thỏa mãn điều kiện.
0,25
+) Với
2
2
y
x
=
−
thay vào (2) ta được:
2
2
5
1
2
x
x
x
−
+
+
−
=
(4)
điều kiện xác
định
1
x
.
(
)
2
(4)
1
4
1
2
x
x
−
+
+
−
=
0,25
2
Câu
Sơ lược lời giải
Điểm
Ta có:
(
)
2
1
4
1
2
x
x
−
+
+
−
, đẳng thức xảy ra khi
1
0
x
y
= =
(thỏa mãn)
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm
(
)
0;
1
−
và
(
)
1;0
.
b) Điều kiện:
3
1
0
1
x
x
+
−
.
(
)
(
)
3
2
2
2
1
3
1
0
(
1)
1
1
2(
1)
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+ +
−
− =
+
−
+
+
−
+
−
+
=
Đặt
2
1;
1;
0,
0
u
x
v
x
x
u
v
=
+
=
−
+
0,25
Phương trình đã cho trở thành:
2
2
2
0
(
)(2
)
0
uv
v
u
v
u
u
v
+
−
=
−
+
=
0
2
0
2
u
v
u
v
u
v
u
v
−
=
=
+
=
= −
0,25
Với
u
v
=
ta được
2
2
0
1
1
2
0
2
x
x
x
x
x
x
x
=
−
+
=
+
−
=
=
(thỏa mãn phương trình)
0,25
Với
2u
v
= −
ta được
2
2
1
1
x
x
x
+
= −
−
+
(vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
0
x
=
và
2.
x
=
0,25
Câu 3
(2,0)
a) Ta có:
3
3
3
(
)
3
(
)
x
y
x
y
xy x
y
−
=
−
+
−
0,25
Theo giả thiết
3
3
(
) 3
x
y
−
; Hơn nữa
3
(
) 3
xy x
y
−
nên
3
3
3
(
)
3
(
)
3
x
y
x
y
xy x
y
−
=
−
−
−
0,25
Do
3
(
)
9
x
y
−
nên
(
) 3
x
y
−
Hơn nữa do
(
) 3
x
y
−
nên
3
(
) 9
xy x
y
−
0,25
Suy ra
3
3
3
(
)
3
(
)
9
x
y
x
y
xy x
y
−
=
−
+
−
0,25
b) Giả sử
2
2
3
x
y
z
+
=
với
z
+
.
Xét theo
mod 3
cả hai vế ta được
(
)
(
)
1
0; 1 mod 3
x
−
, suy ra
x
chẵn.
0,25
Đặt
2
,
x
m m
+
=
, ta có phương trình
2
4
3
m
y
z
+
=
(
) (
)
3
2
2
y
m
m
z
z
=
+
−
.
Do đó tồn tại
,
a b
sao cho
2
3 ,
2
3
m
a
m
b
z
z
+
=
−
=
và
,
a
b a
b
y
+
=
.
0,25
Suy ra
(
)
1
2
3
3
3
3
1
m
a
b
b
a b
+
−
=
−
=
−
.
Do
1
2
3
m
+
nên ta phải có
0,
b
a
y
=
=
.
Như vậy
1
2
3
1
m
y
+
=
−
.
0,25
Từ đó
3
1
4
y
−
nên
y
chẵn.
Đặt
2 ,
y
n n
+
=
.
Ta có
(
) (
)
1
2
2
3
1
3
1
3
1
m
n
n
n
+
=
− =
+
−
.
Vì ƯCLN
(
)
3
1; 3
1
2
n
n
+
−
=
nên ta phải có
3
1
2, 3
1
2
n
n
m
− =
+ =
.
Vậy
1,
2
n
m
=
=
, suy ra
4,
2
x
y
=
=
.
0,25
Câu 4
(3,5)
a) Hai góc
;
FMD FBD
nội tiếp
(
)
1
O
cùng chắn
DF
nên
FMD
FBD
=
(1)
0,25
Tứ giác CDME nội tiếp
(
)
2
O
nên
180
EMD ECD
+
=
(2)
0,25
Tứ giác ABDC nội tiếp
(
)
O
nên
FBD
ECD
=
(3)
0,25
Từ (1); (2); (3) suy ra
180
FMD EMD
+
=
hay E, M, F thẳng hàng
0,25
3
Câu
Sơ lược lời giải
Điểm
b) Tứ giác MECD nội tiếp nên
AEM
ADC
=
.
0,25
1
2
ADC
AOC
=
(góc nội tiếp và góc ở tâm của
(
)
O
cùng chắn
AC
).
0,5
AOC cân tại O nên
180
2
AOC
OAC
−
=
1
90
2
AOC
=
−
.
0,5
Vậy
90
HAE
AEH
+
=
nên
AHE
vuông tại H hay AO
⊥
EF.
0,25
c)
ABC có
,
,
E
AC F
AB M
BC
và E, M, F thẳng hàng nên
.
.
1
AE MC FB
EC MB FA
=
mà
MB
MC
=
nên
AE
EC
AF
BF
=
0,25
AEF có AN là phân giác nên
AE
NE
AF
NF
=
. Vậy
EC
NE
BF
NF
=
hay
EC
FB
NE
NF
=
(1)
0,25
BFN có FQ là phân giác nên
QB
FB
QN
FN
=
(2).
CEN có EP là phân giác nên
PC
EC
PN
EN
=
, kết hợp với (1) và (2) suy ra
PC
QB
PN
QN
=
0,25
NBC có
PC
QB
PN
QN
=
nên
//
PQ BC
.
0, 25
Câu 5
(0,5)
Để bạn Bình chắc chắn thắng trong trò chơi, thì số bi trong hộp trước lượt cuối cùng của
hai người chơi phải là 4 viên.
Theo luật chơi, trong mỗi lượt mỗi người chỉ được lấy 1,2 hoặc 3 viên, nên người lấy sau
luôn có cách lấy sao cho tổng số bi của hai người trong một lượt là 4 viên.
0,25
Giả sử Hòa lấy trước
a
viên (với
1; 2;3
a
), Bình sẽ thực hiện lấy
4
a
−
viên. Khi
đó tổng số viên của một lượt chơi luôn là 4 viên.
Mà 100 = 4.25 nên lượt cuối cùng của hai người chỉ còn 4 viên. Khi đó Hoà lấy bao
nhiêu viên thì Bình luôn là người chiến thắng.
0,25
Hình vẽ cho câu 4
